Väittelijä tutki ratkaisufunktioita yhtälöille, joita voi hyödyntää luonnonilmiöiden matemaattisten mallien laskennassa (Väitös: FM Arttu Karppinen, 21.11.2020, matematiikka)
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt ovat yleinen tapa kuvailla erilaisia luonnonilmiöitä kuten liikettä ja lämpöä. Yhtälöitä ei usein osata ratkaista kynällä ja paperilla, vaan ratkaisufunktioita etsitään tietokoneiden avulla. FM Arttu Karppinen tutki väitöskirjassaan ratkaisufunktioiden säännöllisyysominaisuuksia tilanteessa, joka yhdistää monet aiemmin yhtälötyypit yhteisen teorian alle.
Arttu Karppisen väitöstutkimuksessa tarkastellaan osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisufunktioiden ominaisuuksia. Näitä ominaisuuksia voidaan hyödyntää esimerkiksi luonnonilmiöiden matemaattisten mallien laskennassa.
– Osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisuja osataan vain harvoissa tapauksissa selvittää täsmällisesti, ja yleensä ratkaisufunktion arvoja lasketaan tietokonealgoritmeilla. Nämä algoritmit kuitenkin monesti tarvitsevat laskettavalta funktiolta jonkinlaisia ominaisuuksia, joita hyödyntää sen arvojen laskemisessa. Yksi tällainen tieto voisi olla vaikkapa funktion jatkuvuus. Jatkuvalla funktiolla on ominaisuus, että mikäli sen alkuarvoja muutetaan vain vähän, myös funktion avulla laskettavat loppuarvot vain muuttuvat vähän, Karppinen kertoo.
Väitöskirjassa todistetaan useita esimerkiksi jatkuvuuteen liittyviä ominaisuuksia ratkaisufunktioille, jotka ovat peräisin yleistetyn Orlicz-tyypin osittaisdifferentiaaliyhtälöistä. Yleistetty Orlicz-tyyppi viittaa yhtälön matemaattiseen rakenteeseen. Tavallisia yhtälöitä voisi hieman samaan tapaan luokitella esimerkiksi toisen asteen yhtälöihin tai eksponenttiyhtälöihin.
Yhdellä yleistetyn Orlicz-tyypin kategoriaan kuuluvalla yhtälöllä kuvaillaan muun muassa rheologisia nesteitä, joiden viskositeettia eli juoksevuutta voi muuttaa esimerkiksi sähkökentän avulla. Toisella yhtälöllä voidaan tarkastella eri aineseoksista koostuvia materiaaleja.
– Näitä ilmiöitä kuvailevia yhtälöitä ja niiden ratkaisuihin liittyvää matematiikkaa on tutkittu viime aikoina hyvin aktiivisesti. Monet tutkimustulokset ovat hyödyntäneet tutkitun yhtälön matemaattista rakennetta mahdollisimman paljon, ja tämän vuoksi erilaisten yhtälöiden ratkaisufunktioiden samoille ominaisuuksille on kehitetty erilaisia todistuksia, Karppinen mainitsee.
Tutkimuksessa käsitellään näitä erilaisia yhtälöitä ja niiden ratkaisuja samanaikaisesti.
– Näin saamme aiemmin eri tavoin saavutetut tulokset esitettyä yhdellä matemaattisella teorialla. Samalla osoitamme myös tuloksia sellaisille ratkaisufunktioille, jotka ovat peräisin tästä yleisestä yhtälötyypistä, mutta joita ei ole vielä laajemmin tutkittu.
Väitöstutkimuksen päätuloksia ovat ratkaisufunktioiden jatkuvuus sekä eräänlainen integroituvuus määrittelyalueensa reunalla, paras mahdollinen jatkuvuusominaisuus määrittelyalueen sisällä sekä olemassa olevan ratkaisun laajentaminen suurempaan määrittelyalueeseen. Erityisesti tutkimuksessa on tarkasteltu tapausta, jossa yhtälötyypin lisäksi ratkaisufunktiolle asetetaan lisäehtona niin kutsuttu estefunktio.
– Koska yhtälöiden ratkaisufunktioita on tutkittu matematiikassa jo kauan, tiedämme jotakuinkin, mitä ovat parhaat mahdolliset ominaisuudet, jotka voimme todistaa ratkaisuilla olevan. Nämä todistukset ovat kuitenkin kokonaisuudessaan hyvin pitkiä, joten niitä tutkitaan ikään kuin yksi pala kerrallaan. Moni väitöskirjani tulos on jokin palanen tästä prosessista.
***
FM Arttu Karppinen esittää väitöskirjansa ”Regularity of Minimizers and Solutions with Generalized Orlicz Growth” julkisesti tarkastettavaksi Turun yliopistossa lauantaina 21.11.2020 klo 12.00 (Natura, Sali X, Turun yliopisto).
Vastaväittäjänä toimii professori Tuomas Hytönen (Helsingin yliopisto) ja kustoksena professori Peter Hästö (Turun yliopisto). Tilaisuus on englanninkielinen. Väitöksen alana on matematiikka.
Koronavirustilanteen vuoksi väitöstilaisuuden yleisömäärä paikan päällä on korkeintaan 50 henkilöä. Tilaisuutta voi seurata etäyhteyksin.
Turun yliopisto seuraa aktiivisesti koronavirustilannetta ja viranomaisten ohjeita. Yliopisto päivittää ohjeitaan tilanteen mukaan. Ohjeet ja linkit löytyvät osoitteesta: utu.fi/koronavirus
Väittelijän yhteystiedot: p. 0414680754, arvika@utu.fi
