Väittelijä tarkasteli samaistuksien määräämien sanaluokkien matemaattisia rakenteita (Väitös: FM Markus Whiteland, 28.6.2019, matematiikka)
Matemaatikko Markus Whiteland selvitti Turun yliopistoon tekemässään väitöstutkimuksessa perusteellisesti äärellisten sanojen k-abelin ekvivalenssiluokkien rakennetta. Lisäksi hän tarkasteli k-abelin ekvivalenssirelaatiota äärettömien sanojen yhteydessä.
Whitelandin väitöstutkimus käsittelee sanojen kombinatoriikkaa ja formaaleja kieliä, joissa tutkitaan äärellisten ja äärettömien symbolijonojen eli sanojen tai sanajoukkojen ominaisuuksia.
– Äärellisiä sanoja ovat esimerkiksi uutistekstissä käytettävät sanat, jolloin aakkostona toimivat tutut aakkoset a:sta ö:hön. Yleisesti ottaen aakkosto voi olla mikä tahansa joukko symboleita eli kirjaimia, ja sanat ovat äärellisiä tai äärettömiä jonoja kyseisen aakkoston kirjaimia, Whiteland kertoo.
Whiteland tarkastelee tutkimuksessaan sanojen k-abelin ekvivalenssirelaation määräämiä sanaluokkia useasta eri näkökulmasta. Aiemmin ekvivalenssirelaatioita on tarkasteltu pääosin äärettömien sanojen yhteydessä. Whiteland keskittyy erityisesti ekvivalenssiluokkien rakenteen tarkastelemiseen, kuten ekvivalenssiluokkien lukumäärien laskemiseen sanojen pituuden kasvaessa.
– Käsitteenä k-abelin ekvivalenssirelaatio pitää sisällään useamman ekvivalenssirelaation; kokonaislukuparametrin k eri arvoilla saadaan erilaiset relaatiot. Tutkimuksessani osoitin, että k-abelin ekvivalenssiluokkien lukumäärä kasvaa sanojen pituuden kasvaessa asymptoottisesti yhtä nopeasti kuin polynomi, joka riippuu sekä parametrista k että aakkoston koosta, Whiteland toteaa.
Väitöstutkimuksessaan Whiteland tarkastelee myös ekvivalenssiluokkien algebrallista rakennetta, kuten k-abelin ekvivalenssiluokkien yhtälöitä. Hän tarkastelee erästä k-abelin ekvivalenssirelaation luonnehdintaa uudelleenkirjoitusjärjestelmän avulla, mikä avaa madollisuuden tutkia ekvivalenssirelaatiota uudessa valossa. Whiteland osoittaa, että sanajoukko, joka koostuu ekvivalenssiluokkien puhelinluettelojärjestyksessä ensimmäisenä olevista alkioista, muodostaa säännöllisen kielen.
– Formaalisten kielten teoria on erittäin kypsää ja syvällistä. Tutkimuksessani pääsen käsittelemään k-abelin ekvivalenssiluokkien rakennetta säännöllisten kielten teorian avulla paljon entistä tarkemmin, Whiteland selittää.
Whiteland tarkastelee myös k-abelin ekvivalenssirelaatiota äärettömien sanojen yhteydessä – erityisesti k-abelin ekvivalenssia Sturmin sanoissa. Osatutkimuksessa, jonka pohjana on Sturmin sanojen käsitys rotaatiosanoina, Whiteland esittää uusia todistuksia ja tarkennuksia entuudestaan tunnetuille tuloksille.
– Tutkimuksessamme k-abelin toistoista Sturmin sanoissa löysimme mielenkiintoisen yhteyden lukuteoreettiseen objektiin, niin kutsuttuun Lagrangen spektriin. Tämä oli erittäin mielenkiintoinen löytö, mikä entuudestaan vahvistaa Sturmin sanojen yhteyttä lukuteoriaan, Whiteland toteaa.
***
FM Markus Whiteland esittää väitöskirjansa ”On the k-Abelian Equivalence Relation of Finite Words” julkisesti tarkastettavaksi Turun yliopistossa perjantaina 28.6.2019 klo 12.00 (Turun yliopisto, Agora, luentosali XXI, Turku).
Vastaväittäjänä toimii professori Dirk Nowotka (Kielin yliopisto, Saksa) ja kustoksena professori emeritus Juhani Karhumäki (Turun yliopisto). Tilaisuus on englanninkielinen. Väitöksen alana on diskreetti matematiikka.
Väittelijän yhteystiedot: +358400703647, markus.whiteland@gmail.com
