MSc Debangana Baruah käsitteli matematiikan alan väitöskirjassaan minimointiongelmia ja yhtälöitä, jotka liittyvät kuvankäsittelyyn ja siinä satunnaisen kohinan poistamiseen kuvasta.
Väitöstutkimuksessa käsitellään kuvankäsittelyyn liittyvää kohinanvaimennusta, jossa oletetaan havaitun kuvan sisältävän satunnaista kohinaa. Kohinanvaimennusongelma on muotoiltu matemaattiseksi minimoimisongelmaksi, jossa kaikkien mahdollisten ratkaisujen joukosta pyritään löytämään tehokkain ratkaisu.
– Kuvankäsittelyongelmat perustuvat matemaattisiin malleihin, mutta satunnaisen kohinan poisto kuvista on ollut haaste vuosikymmeniä. Kehittämäni matemaattinen teoria kuvankäsittelymallille syventää teoreettisten ongelmien ymmärtämistä, minkä avulla voidaan mahdollisesti kehittää käytännön tarpeisiin sopivia numeerisia menetelmiä, Baruah kertoo.
Väitöstutkimuksessa tarkasteltiin minimoijien ja ratkaisujen laadullisia ominaisuuksia eli olemassaoloa, yksikäsitteisyyttä ja stabiilisuutta. Tutkimuksessa minimoitava funktionaali koostuu pienimmän neliösumman sovituksesta ja regularisointitermistä. Regularisointitermi on kaksivaiheinen (double phase) funktio, jossa on sekä anisotrooppinen että isotrooppinen diffuusio. Nämä eri vaiheet mahdollistavat kuvassa paloittaista tasoittamista ja reunan säilyttämistä. Tämä lähestymistapa antaa tietoa mallin laadullisista ominaisuuksista yleistetyssä Sobolevin-Orliczin funktioavaruudessa.
Osittaisdifferentiaaliyhtälöpohjaisessa lähestymistavassa tutkitaan lämpöyhtälömuotoisia malleja, joissa on evoluutioprosessi aikaulottuvuudessa. Tämä tuottaa kvasilineaarisen parabolisen reuna-arvo-ongelman. Osittaisdifferentiaaliyhtälön degeneroidun käyttäytymisen vuoksi siihen ei kuitenkaan voida soveltaa yleisiä tuloksia klassisesta parabolisten yhtälöiden teoriasta.
Normalisoimme yhtälön käyttämällä approksimaatioita saadaksemme sopivat ratkeavuusehdot. Ideana on rakentaa likimääräisiä reuna-arvo-ongemia, joiden ratkaisut suppenevat lämpöyhtälön ratkaisuun sopivissa olosuhteissa. Lisäksi todistamme ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden sekä johdamme a priori arvioita, jotka antavat tietoa rajafunktion laadullisesta käyttäytymisestä.
Lopuksi malli diskretisoidaan ja sen käyttäytymistä ja tehokkuutta testataan numeerisilla kokeilla.
Tämän opinnäytetyön tutkimusala on analyysi, ja tarkemmin variaatiolaskenta ja osittaisdifferentiaaliyhtälöt.
***
MSc Debangana Baruah esittää väitöskirjansa ”Generalized Orlicz spaces and partial differential equations with application to image restoration” julkisesti tarkastettavaksi Turun yliopistossa perjantaina 11.11.2022 klo 12. (Turun yliopisto, Natura, luentosali X)
Väitöstä voi seurata myös etäyhteydellä
Vastaväittäjänä toimii professori Juha Kinnunen (Aalto yliopisto) ja kustoksena professori Peter Hästö (Turun yliopisto). Tilaisuus on englanninkielinen. Väitöksen alana on matematiikka.
