Modernit menetelmät auttavat haastavien yhteenlaskuongelmien ratkaisemisessa (Väitös: FM Juho Salmensuu, 5.5.2022, matematiikka)

Goldbachin konjektuuri on yli 250 vuotta vanha ratkaisematon matematiikan ongelma. Sen mukaan jokainen kahta suurempi parillinen luku voidaan esittää kahden alkuluvun summana. Alkuluvut ovat luonnollisia lukuja, jotka ovat jaollisia vain itsellään ja ykkösellä. Esimerkiksi 17 on alkuluku, mutta 6 ei ole, sillä se voidaan kirjoittaa muodossa 6 = 2 · 3.

– Goldbachin konjektuurin ratkaisu näyttää olevan nykyisten menetelmien ulottumattomissa minkä tähden ongelmaa lähestytään monesti tekemällä siitä muunnelmia, jotka ovat jollain tavalla helpompia kuin alkuperäinen ongelma, ongelmaa tutkinut Juho Salmensuu kertoo. 

Toinen Salmensuun tarkastelema klassinen yhteenlaskuongelma, Waringin ongelma, taas tarkastelee seuraavaa kysymystä: Olkoon K luonnollinen luku. Onko olemassa jokin sellainen raja S, että kaikki luonnolliset luvut voidaan esittää K:nsien potenssien (1^K, 2^K, 3^K jne.) summana siten, että tarvitaan korkeintaan S summattavaa? Esimerkiksi tiedetään, että jokainen luonnollinen luku voidaan esittää neljän neliön summana (esim. 28 = 5² + 1² + 1² + 1²). 

– Varsinainen Waringin ongelma on ratkaistu jo vuonna 1909, mutta siitä on olemassa monenlaisia muunnelmia, joihin ei vielä tunneta täydellistä ratkaisua. Tämän tyyppisiä, sekä Waringin ongelman että Goldbachin konjektuurin kaltaisia yhteenlaskuongelmia on tyypillisesti lähestytty käyttäen niin kutsuttua ympyrämenetelmää, Salmensuu sanoo. 

Ympyrämenetelmä perustuu ajatukseen, että kun sopivasti valittua funktiota integroidaan kompleksitasossa sijaitsevan yksikköympyrän ylitse, niin saadaan poimittua esimerkiksi, kuinka monella tavalla annettu luonnollinen luku voidaan esittää kolmen alkuluvun summana. 

Toinen tapa lähestyä yhteenlaskuongelmia on käyttää niin sanottua transferenssiperiaatetta. Transferenssiperiaate on melko tuore menetelmä, jossa haastavan ongelman sijaan ratkaistaan helpotettu versio ongelmasta ja muutetaan helpotetun ongelman ratkaisu haastavan ongelman ratkaisuksi.

– Käyttämällä transferenssiperiaatetta ja ympyrämenetelmän muunnelmaa pystyttiin merkittävästi parantamaan aikaisempia tuloksia tutkittuihin ongelmiin. Väitöskirjatutkimukseni myös osoittaa, että näillä käytetyillä menetelmillä saavutetaan monessa tapauksessa huomattavasti parempia tuloksia, kuin mitä aikaisemmilla menetelmillä oli edes mahdollista saavuttaa, Salmensuu toteaa. 

***

FM Juho Salmensuu esittää väitöskirjansa ”Modern Approaches to Classical Additive Problems” julkisesti tarkastettavaksi Turun yliopistossa torstaina 5.5.2022 klo 12.00 (Turun yliopisto, Educarium, Edu 2 -luentosali, Assistentinkatu 5, Turku).

Vastaväittäjänä toimii apulaisprofessori Sam Chow (Warwickin yliopisto, Iso-Britannia) ja kustoksena dosentti Kaisa Matomäki (Turun yliopisto). Tilaisuus on englanninkielinen. Väitöksen alana on matematiikka.

Turun yliopisto seuraa aktiivisesti koronavirustilannetta ja viranomaisten ohjeita. Yliopisto päivittää ohjeitaan tilanteen mukaan. Ohjeet ja linkit löytyvät osoitteesta: utu.fi/koronavirus