Väittelijä tutki geometriaa uudenlaisilla metriikoilla (Väitös: FM Oona Rainio, 3.9.2021, matematiikka)
FM Oona Rainio selvittää Turun yliopistossa tarkastettavassa väitöstutkimuksessaan, millaisia geometrisia systeemejä syntyy, kun etäisyyden käsite määritellään uudelleen. Suorien, kolmioiden ja muiden geometristen kappaleiden tutut ominaisuudet muuttuvat, jos niitä mitataan alueen reunasta riippuvilla intrinsisillä metriikoilla. Rainion väitöstutkimuksen tulokset antavat uutta tietoa etäisyyksien eri mittareista.
Kouluissa opetetaan euklidista geometriaa, jossa kahden pisteen välinen etäisyys lasketaan yhdistämällä ne suoralla viivalla ja mittaamalla näin syntyvän janan pituus. Tämä ei kuitenkaan ole ainoa tapa määrittää kuinka kaukana pisteet ovat toisistaan.
Tutkimuksen tärkein käsite on intrinsinen metriikka. Siinä mitataan tietyn alueen sisältä valittujen pisteiden etäisyyksiä ottamalla aina huomioon pisteiden sijainnit alueen reunan suhteen.
– Kuvittele esimerkiksi tilanne, jossa Turun ja Helsingin välimatka riippuisi Suomen valtion rajoista. On siksi mielenkiintoista tutkia, millainen geometrinen systeemi syntyy määrittelemällä kaikki etäisyydet tällä tavoin, Rainio kertoo.
Useilla euklidisen geometrian kappaleilla on jotkin vastineet intrinsisessä geometriassa. Esimerkiksi suorat, ympyrät ja monikulmiot voidaan määritellä kaikissa geometrisissa systeemeissä. Näiden kappaleiden ulkonäkö voi tosin poiketa odotetusta. Suorat voivat olla kaarevia ja ympyrät eivät välttämättä olekaan pyöreitä.
Intrisisen etäisyyden käsite on itsessään melko tuore, mutta sillä on pitkä juuret. Euklidinen geometrian historia alkoi jo 300 vuotta ennen ajanlaskumme alkua ja sen pohjalta heräsi kysymys, onko olemassa muita geometrisia systeemejä. Tämä kysymys sai vastauksen 1800-luvulla, kun hyperbolisen geometrian tutkimus sai alkunsa venäläisen matemaatikon Nikolai Ivanovich Lobachevskyn ja muiden hänen aikalaistensa uraauurtavien tulosten pohjalta.
Hyperbolinen geometria lienee tunnetuin esimerkki epäeuklidisesta geometriasta. Siinä kolmion kulmien summa ei olekaan 180 astetta kuten koulugeometriassa opetetaan, kolmion pinta-ala riippuu pelkästään sen kulmien suuruuksista, ja kolmion sivut ovat joskus ympyränkaaria. Nämä ominaisuudet johtuvat siitä, että pisteiden etäisyyksiä mitataan hyperbolisella metriikaksi kutsutulla intrinsisellä metriikalla.
– Hyperbolinen geometrian tutkiminen on kuitenkin haasteellista korkeammissa ulottavuuksissa, sillä hyperbolisten etäisyyksien määrittäminen tarkasti voi olla todella vaikeaa. Tästä syystä muutamien viime vuosikymmenten aikana on kehitelty useita muita intrinsisiä metriikoita, joiden arvo on helpompi laskea. Näillä uudemmilla metriikoilla voidaan määritellä erilaisia geometrioita, ja niillä on myös useita hyödyllisiä ominaisuuksia monien eri geometrisen funktioteorian osa-alueiden tutkimuksen kannalta, Rainio kertoo.
Rainion tutkimuksessa keskeinen rooli on erityisesti kolmisuhdemetriikalla, jonka Turun yliopiston professori Peter Hästö esitteli kaksikymmentä vuotta sitten.
– Jotta kahden kiinnitetyn pisteen etäisyyden voi laskea tällä metriikalla, on löydettävä lyhin etäisyys ensimmäisestä pisteestä alueen reunalle ja sieltä toiseen pisteeseen. Tällainen optimointiongelma on kiinnostanut ihmisiä jo vuodesta 150 lähtien, sillä kysymys liittyy keskeisesti esimerkiksi optiikkaan. Yleisemminkin intrinsisen geometrian tuloksilla voi olla sovelluskohteita fysiikan alalla, Rainio kertoo.
Omassa väitöskirjassaan Rainio tutkii erityisesti eri intrinsisten metriikoiden välisiä epäyhtälöitä. Nämä tulokset antavat nimittäin ylä- ja alarajoja sille, kuinka paljon tiettyjen metriikkojen määrittelemät etäisyydet muuttuvat erityyppisissä kuvauksissa. Lisäksi alueen reunan muodosta ja sen muista ominaisuuksista voidaan päätellä paljon eri metriikkojen arvoja vertailemalla.
***
FM Oona Rainio esittää väitöskirjansa ” Geometry of Intrinsic Metrics” julkisesti tarkastettavaksi Turun yliopistossa perjantaina 3.9.2021 klo 12.
Yleisön on mahdollista seurata väitöstä etäyhteyden kautta: https://utu.zoom.us/j/69067187822
Vastaväittäjänä toimii professori David Kalaj (Montenegron yliopisto, Montenegro) ja kustoksena emeritusprofessori Matti Vuorinen (Turun yliopisto). Tilaisuus on englanninkielinen. Väitöksen alana on matematiikka.
Turun yliopisto seuraa aktiivisesti koronavirustilannetta ja viranomaisten ohjeita. Yliopisto päivittää ohjeitaan tilanteen mukaan. Ohjeet ja linkit löytyvät osoitteesta: utu.fi/koronavirus
Väittelijän yhteystiedot: ormrai@utu.fi
