Siirtoavaruuden rakenne vaikuttaa kaoottisten soluautomaattien olemassaoloon (Väitös FM Johan Kopra, 13.12.2019, diskreetti matematiikka)

Johan Kopran väitöstutkimus käsittelee dynaamisia systeemejä, eli systeemejä, jotka muuttuvat ajan myötä. Tutkimuksessa selvitettiin, mitkä dynaamiset systeemit ovat kaoottisia. Kaoottisuus liittyy kiinteästi luotettavien ennusteiden tekemiseen. 

– Eräs kaaoksen merkki on sensitiivisyys, eli niin sanottu perhosefekti, mikä tarkoittaa, että pienelläkin mittausvirheellä voi olla suuri vaikutus pitkän aikavälin ennusteisiin. Kaaosteorian käsitteet ovat relevantteja reaalimaailman ilmiöiden hahmottamisessa. Sää on sensitiivinen systeemi ja siksi sitä on vaikea ennustaa yli kymmenen päivän päähän. Taivaanmekaniikan ilmiöt puolestaan ovat vakaita; kuun liikkeet voidaan ennustaa tarkasti määrättömän pitkälle tulevaisuuteen, Kopra havainnollistaa.

Väitöstutkimus rajoittuu symbolidynaamisiin systeemeihin. Symbolidynamiikassa tutkitaan huomattavasti yksinkertaistettua maailmaa, siirtoavaruutta, joka koostuu äärettömästä jonosta symboleita sisältäviä pikselinomaisia soluja. Siirtoavaruuteen voidaan luoda eräänlaisia fysiikan lakeja, jotka yleensä poikkeavat huomattavasti oman maailmamme fysiikasta. Fysiikan tuottaa soluautomaatti, eli sääntö, joka muuttaa äärettömän symbolijonon toiseksi niin, että kunkin solun uusi sisältö riippuu vain siitä, miltä solun naapurusto näyttää.

Sofisiin siirtoavaruuksiin on aina mahdollista muodostaa kaoottinen soluautomaatti 

Kopran väitöstutkimus valottaa, miten siirtoavaruuden rakenteelliset rajoitteet vaikuttavat siihen, kuinka kaoottisia mahdolliset fysiikan lait, eli soluautomaatit, voivat olla. Tyypillinen rakenteellinen rajoite on esimerkiksi se, että kahdessa vierekkäisessä solussa on aina eri symbolit. 

– Yksi väitöstutkimukseni päätuloksista on, että tämänkaltaisiin niin sanottuihin sofisiin siirtoavaruuksiin on aina mahdollista liittää soluautomaatti, joka on voimakkaasti sensitiivinen, Kopra sanoo.

Tutkimuksessa löytyi myös esimerkkejä siirtoavaruuksista, jotka poikkeavat vain vähän sofisista systeemeistä, mutta joiden rakenne tekee kaoottisen soluautomaatin olemassaolon mahdottomaksi. Kopran mukaan sopivan näkökulman valinnalla jokaisen soluautomaatin dynamiikka muuttuu näissä siirtoavaruuksissa aina melko helposti ymmärrettäväksi.

– Entuudestaan tunnetaan siirtoavaruuksia joissa ei ole juurikaan rakenteellisia rajoitteita ja joihin on mahdollista liittää kaoottisia soluautomaatteja ja toisaalta myös hyvin rajoittuneita siirtoavaruuksia, joissa ei ole mahdollisuutta kaaokseen. Uutta on sen rajan selventyminen, jonka ylittyessä siirtoavaruuden rakenteen jäykkyys muuttaa kaoottisen dynamiikan mahdottomaksi, Kopra toteaa.

Uusia sovelluksia Mahlerin 3/2-ongelmaan

Väitöskirjan muissa osissa keskitytään täysiin siirtoavaruuksiin, joissa symbolien sijoittelulla ei ole mitään rajoitteita ja joissa kaoottisten soluautomaattien olemassaolo on kiistatonta. Tällaisissa siirtoavaruuksissa on niin sanottuja kertolaskusoluautomaatteja, jotka pystyvät suorittamaan lukujen symboliesitysten (esim. 2,71828:n) kertolaskua murtoluvuilla (esim. 3/2:lla). 

Tutkimuksessa esitetään uusia kertolaskusoluautomaattien dynamiikkaa koskevia teoreettisia tuloksia, joista joillakin on myös sovelluksia lukuteoreettiseen Mahlerin 3/2-ongelmaan. Matemaatikko Kurt Mahlerin vuonna 1968 esittämä ongelma on selvittää, onko Z-lukuja olemassa. Z-luvut ovat positiivisia lukuja, joita voidaan kertoa yhä uudestaan 3/2:lla niin, että joka kerta desimaalipilkun jälkeen tuleva osa pysyy pienempänä kuin 0,5. 

– Mahlerin ongelma Z-lukujen olemassaolosta on yhä avoin, mutta desimaalipilkun jälkeen tulevaa osaa koskevaa rajoitetta vaihtamalla voidaan muodostaa toisia, samankaltaisia ongelmia, joita väitöstutkimuksessa ratkaistaan menestyksekkäästi, Kopra sanoo.

– Näennäisestä yksinkertaisuudestaan huolimatta kertolaskusoluautomaateilla on hyvin monimutkainen dynamiikka jota ei vielä täydellisesti ymmärretä. Lukuteoreettisten sovellusten lisäksi suorittamani tapaustutkimuksen tavoitteena on saada tarttumapintaa myös muihin täysien siirtoavaruuksien kaoottisiin soluautomaatteihin, väittelijä lisää. 

***

FM Johan Kopra esittää väitöskirjansa ”Cellular Automata with Complicated Dynamics” julkisesti tarkastettavaksi Turun yliopistossa perjantaina 13.12.2019 klo 12.00 (Turun yliopisto, Publicum, Pub 3 -luentosali, Assistentinkatu 7, Turku).

Vastaväittäjänä toimii professori Nicolas Ollinger (Université d’Orléans, Ranska) ja kustoksena professori Jarkko Kari (Turun yliopisto). Tilaisuus on englanninkielinen. Väitöksen alana on diskreetti matematiikka.

Väittelijän yhteystiedot: +358 50 563 2562, jtjkop@utu.fi