Professoriluento | Jukka Lempa

Aloitan rehellisellä tunnustuksella: esitelmien kirjoittaminen on ollut minulle aina vaikeaa puuhaa. Tämän esitelmän kirjoitustyötä aloittaessani mietin samaa kuten aina vastaavassa tilanteessa: ”mistä lähtisin liikkeelle”. Päätin tehdä uskaliaan vedon ja katsoin Kielitoimiston sanakirjasta kohdan ”riski”. Tässä ehkä näkyy taustani matemaatikkona; kun puhutaan jostakin aiheesta, on tarpeen pyrkiä tarkentamaan mistä tosiasiassa puhutaan. Miksi veto oli uskalias? Varmaankin siksi että lähdin liikkeelle niinkin suppeasta aiheesta kuin riski.

Kielitoimiston sanakirjan mukaan riskillä tarkoitetaan seuraavaa: ”menetyksen, tappion tm. epäedullisen tapahtuman mahdollisuus, uhka, vaara”. Lyhyemmin ilmaistuna, riskillä tarkoitetaan vahingonvaaraa. Tämä näyttää vastaavan varsin hyvin maalaisjärjen antamaa merkitystä riskille. Tällaisenaan käsite on kuitenkin huomattavan laaja. Se pitää sisällään vaikkapa Turun kehätiellä auton tuulilasiin tapahtuvan kiven iskemän, jonka seurauksena tuulilasi pitää vaihtaa. Vahinkona tämä on lopulta varsin pieni, lisäksi se on varsin helppo korjata. Toisessa ääripäässä voisi olla mittavan luonnonkatastrofin seurauksena tapahtuvat ihmiseen ja luontoon kohdistuvat vahingot, jotka voivat olla mittakaavaltaan valtavia ja joista palautuminen on kaikkea muuta kuin helppoa. Vaikka näiden tapahtumien minkäänlainen rinnastaminen voi tuntua räikeältä, on molempien kohdalla kyse vahingonvaarasta.

Oleellista näissä molemmissa esimerkkitapauksissa on vahinkotapahtuman tietynlainen ennakoimattomuus. Tarkemmin sanottuna, ennen tapahtuman sattumista voi olla vaikeaa ennakoida milloin se sattuu. Jos autolla taitettava työmatka kulkee Turun kehätien kautta, lähtiessä voi olla vaikeaa arvioida tapahtuuko kiven iskemä juuri tällä reissulla. Toista ääripäätä katsottaessa, yhdysvaltalaisen tiedeviraston USGS:n verkkosivujen kysymysosiossa kysytään maanjäristysten ennustamisen mahdollisuudesta. Vastaus on yksiselitteisen kielteinen. USGS mainitsee kuitenkin todennäköisyyksiin perustuvan ennusteen mahdollisuuden. Tällöin ennuste kuvaisi tietyn magnitudin järistyksen sattumisen todennäköisyyttä annetun ajanjakson kuluessa.

Palataan kielitoimiston sanakirjan kohtaan, jossa riskillä oleellisesti ottaen tarkoitetaan vahingonvaaraa. Jotta päästään puhumaan riskin mallintamisesta, sanakirjan kohta kaipaa jatkopohdintoja. Otetaan tätä varten avuksi Frank Knightin teos ”Riski, epävarmuus ja tuotto” vuodelta 1921. Esitetään Knightin keskeinen ajatus mikrotason taloudellisen toiminnan puitteissa, ja katsotaan esimerkkinä yrityksen toiminnan suunnittelua. Knightin ajatuksen mukaan yrityksen toiminnan suunniteluun vaikuttaa kahdenlaista ennakoimattomuutta: riskiä ja epävarmuutta. Riskillä tarkoitetaan sitä osaa ennakoimattomuudesta, joka voidaan kvantifioida; se on ennakoimattomuutta, jota voidaan mallintaa kvantitatiivisesti käyttäen havaintoaineistoa. Tämän ulkopuolelle jää epävarmuus, kvantifioimaton ennakoimattomuus. Tämä tarkoittaa yksinkertaistettuna tapahtumia joita havaintoaineiston puitteissa ei ole tapahtunut. Yritysesimerkkiin palatakseni, riski voi liittyä vaikkapa lainakoron vaihteluun, jota voidaan mallintaa korojen kehityksestä saatavan havaintoaineiston perusteella. Epävarmuus voi puolestaan esimerkiksi liittyä mahdolliseen markkinaromahdukseen, jonka sattumista ja jonka seurauksia ei voida aineiston perusteella ainakaan suoraan ennakoida. Knightin työn perusteella voidaan siis kaivaa kielitoimiston riskin sisältä esiin toinen, kvantifioitava riskin käsite; puhun tästä jatkossa Knightin riskinä.

Esitelmäni aiheena on riskin matemaattinen mallintaminen, tämän vuoksi riskin kvantifioiminen on tärkeää. Alun alkaen matematiikka käsittelee lukumääriä, tätä nykyä matematiikka toimiikin kvantitatiivisen tieteen teon pääasiallisena kielenä. Mutta miten Knightin riski voidaan kvantifioida ja pukea matematiikan kielelle? Vallalla olevan keinon tarjoaa matematiikan ala stokastiikka. Stokastiikka käsittelee koeasetelmia, joiden lopputulokset noudattavat tilastollista säännönmukaisuutta. Kun tällaista koeasetelmaa toistetaan lukuisia kertoja ja tilastoidaan tulokset, saadaan havaintojen frekvenssijakauma. Mikäli toteutuva frekvenssijakauma on riittävän stabiili yli näin tuotettujen toistosarjojen, voidaan sitä mallintaa käyttäen matemaattista funktiota. Tämän funktion avulla voidaan mallin puitteissa määrittää toistokokeeseen liittyviä todennäköisyyksiä. Tunnetuin tällainen malli on eittämättä normaalijakauma eli niin kutsuttu Gaussin kellokäyrä. Gaussin jakauman käytettyyden taustalla on puolestaan keskeinen raja-arvolause, jonka nojalla voidaan sangen yleisessä asetelmassa sanoa toistokokeessa saatavien havaintojen keskiarvon noudattavan likimain normaalijakaumaa.     

Stokastiikan alan alkujuuret ovat uhkapeleihin liittyvässä todennäköisyyslaskennassa. Ensimmäisiä tämän alan teoksia on italialaisen lääkäri-matemaatikko-esoteerikko Cardanon työ Liber de Ludo Aleae (vapaasti suomennettuna Uhkapeleistä). Kirjan kirjoitusvuotta ei tunneta tarkasti, mutta sisällön perusteella se on kirjoitettu vuosien 1564 ja 1579 välillä. Cardanon elämänvaiheet tunnetaan varsin hyvin, ja omien sanojensa mukaan hän pelasi ”jatkuvasti”. Näin hänellä oli hyvä ensikäden kosketus Knightin riskiin. Uhkapelit muodostavat hyvän laboratorion tilastollisten säännönmukaisuuksien hyödyntämiseen ennakoimattomassa ympäristössä.

Todennäköisyyslaskennan ala kehittyi seuraavien vuosisatojen aikana. Tärkeänä tapauksena voi mainita Jakob Bernoullin postuumisti julkaistun teoksen Ars Conjectandi (vapaasti suomennettuna Ennakoimisen taito) vuodelta 1713. Tässä työssä Bernoulli käsittelee matemaattisesti suurten lukujen lakia ja niin ollen luo perustaa edellä mainitulle frekvenssijakauman käsitteelle.  Ala oli kuitenkin varsin hajanainen eikä tulosten yhteistä matemaattista pohjaa ollut. Tämän vuoksi stokastiikka oli vielä 1900-luvun alussa huonossa huudossa matematiikan suunnalta katsottuna. Asiaan saatiin lopullinen muutos vuonna 1933 kun neuvostovenäläinen matemaatikko Andrei Kolmogorov julkaisi teoksensa todennäköisyyslaskennan matemaattisesta perustasta. Työssään Kolmogorov puki todennäköisyyden modernin matemaattisen analyysin kielelle tavalla, joka oli yhteensopiva aikaisemman matemaattisen käsittelyn kanssa. Kutsun Kolmogorovin aksiomatisoinnille perustuvaa matematiikkaa stokastiikaksi.

Stokastiikan keskiössä on jo edelläkin mainittu satunnaiskokeen käsite. Satunnaiskoe on käsitteellinen koeasetelma, jonka sellaisenaan ennakoimattomat lopputulokset noudattavat tilastollista säännönmukaisuutta. Satunnaiskokeeseen liittyy keskeisellä tavalla satunnaismuuttujan käsite. Tämä puolestaan voidaan ymmärtää satunnaiskokeeseen liittyvänä mittaustuloksena, jonka perusteella saadaan kvantitatiivista aineistoa kokeen lopputuloksesta.  Matemaattisesti katsoen satunnaismuuttuja on funktio, joka liittää havaintoarvon satunnaiskokeen lopputulokseen. Nämä havaintoarvot voivat olla yksittäisiä lukuja tai vektoreita, tällöin satunnaismuuttujan arvojoukko on reaalilukujen joukko tai euklidinen avaruus. Arvojoukko voi myös yleisempi matemaattinen rakenne, se olla äärettömien lukusarjojen tai reaalifunktioiden joukko. Tällaisia satunnaismuuttujia kutsutaan stokastisiksi prosesseiksi, jolloin lukusarjan indeksi tai reaalifunktion argumentti tulkitaan aikana.

Stokastinen prosessi tarjoaa keinon Knightin riskin mallintamiseen dynaamisessa ympäristössä. Tällöin stokastisen prosessin arvo annettuna ajanhetkenä on mittaussuureen sen hetkinen havaintoarvo. Käsitteellisellä tasolla taustalla on satunnaiskoe, jonka tuloksen perusteella saadaan prosessin polun toteuma tästä hetkestä hamaan tulevaisuuteen. Toteumaa ei kuitenkaan havaita muuten kuin ajan kuluessa, vaikka sen mallin puitteissa voidaankin ajatella olevan olemassa. Toteuman tulevien arvojen jakaumat saadaan prosessin tilan ehdollisina jakaumina, jossa ehdollistavana tapauksena toimii prosessin polun havaintohistoria. Näin päästään erääseen mahdolliseen Knightin riskin dynaamiseen malliin: osa mittaussuureen tulevien arvojen ennakoimattomuudesta voidaan kvantifioida käyttäen mallina toimivan stokastisen prosessin havaintohistorialla ehdollistettua jakaumaa.             

Mallintamisen alalla arvatenkin käytetyin stokastinen prosessi on Brownin liike.  Brownin liike on satunnaiskulun matemaattinen malli, jonka juuret voidaan ulottaa pitkälle historiaan. Nimensä prosessi on saanut skottilaiselta kasvitieteilijältä Robert Brownilta. 1820-luvun loppupuolella Brown tarkasteli mikroskooppia käyttäen siitepölyhiukkasten liikettä veden pinnalla ja havaitsi liikeradan olevan sangen sattumanvarainen. Brown tulkitsi liikkeen johtuvan hiukkasen ”jatkuvasta” törmäilystä vesimolekyylien kanssa.   

Ajatus pienten hiukkasten törmäilyn aiheuttamasta sattumanvaraisesta liikkeestä voidaan jäljittää historiassa paljon Brownia kauemmas. Antiikin Rooman filosofi Lucretius kuvailee runollisella tavalla pölyhiukkasten liikettä ilmassa vuodelta 60 e.a.a. olevassa teoksessaan ”Maailmankaikkeudesta”; tällä hän pyrki osoittamaan maailmankaikkeuden atomirakenteen. Lucretiuksen kuvaus, josta luen lyhyen sitaatin, muistuttaa huomattavalla tavalla Brownin havaintoa:

Huomio suoda siis täys syy on kappalehille,

joiden auringon sätehissä me hyörivän näämme:

näyttää hyöriminen olevan näet pohjana kaiken

hiukkasten salavihkaiset, näkymättömät liikkeet.

Siellä sä näät monenkin näkymättömän saatua iskun

tietään vaihtavan, vaan takaisin taas torjutun saavan

tänne – tuonnepäin, siis suuntaan taikkapa toiseen.

Ensimmäiset Brownin liikkeeseen liittyvät matemaattiset tulokset ovat vuodelta 1880, ne ovat tanskalaisen Thorvald Thielen käsialaa. Ensimmäinen Brownin liikkeen matemaattinen konstruktio on puolestaan Norbert Wienerin käsialaa vuodelta 1925, tämän vuoksi Brownin liikettä kutsutaan myös Wiener-prosessiksi.

Miksi Brownin liike sitten on paljon käytetty malli? Nykyaikaisissa lähteissä Brownin liike määritellään stokastisena prosessina, jonka arvojen ajan kuluessa tapahtuvat muutokset ovat havaintohistoriasta riippumattomia ja normaalisti jakautuneita. Tästä yksinkertaisesta määritelmästä seuraa huomattava määrä hyödyllisiä ominaisuuksia. Brownin liike on esimerkiksi martingaali, jonka yleinen määritelmä kuuluu seuraavasti: pienimmän neliösumman ennuste prosessin tulevalle tilalle on prosessin tämän hetkinen tila. Martingaali on siis eräänlainen kohinaprosessin prototyyppi: sen havaintohistoriasta ei ole erotettavissa esimerkiksi ajautumaa johonkin suuntaan. Lisäksi normaalijakaumaan liittyvä näennäinen taikuus on Brownin liikkeen puolella. Tarkemmin sanottuna, Brownin liikkeen polkuihin liittyvien erilaisten satunnaismuuttujien jakaumia voidaan laskea eksplisiittisesti hyvin monenlaisissa tapauksissa. Esimerkkinä tästä toimii osin turkulaisin voimin koottu Brownin liikkeen käsikirja, jossa tämän kaltaisia jakaumia on raportoitu satojen sivujen verran.

Brownin liikkeen rikas teoria on eittämättä sen vahvuus. Mutta kolikolla on toinen puoli, teoria kun perustuu oletuksille, jotka voivat olla tilanteesta riippuen epärealistisia. Tässä on matemaattisen mallintamisen eräs keskeinen dilemma: se on kaupankäyntiä mallin realistisuuden sekä analysoitavuuden välillä. Liian tiukka vaatimus realistisuuden suhteen voi johtaa malliin, josta ei ole hyötyä: mallissa ei ole tarttumapintaa analysoinnille. Toisaalta, liian tyylitellyn mallin käyttäminen voi olla vaarallista puuhaa. Malli voi ylenkatsoa ilmiön kannalta oleellisia tekijöitä, jolla saattaa olla haitallisia seurauksia. Mallintaminen onkin taitolaji, jota varten ei ole olemassa sudenpentujen käsikirjaa vaan tilanteet tulee käsitellä tapauskohtaisesti.

Tässä vaiheessa kuulijalle saattaa tulla mieleen, että millainen malli sitten voisi olla analysoitavissa. Käytän esimerkkinä verrattain yksinkertaista kysymyksen asettelua, johon liittyvää matematiikkaa olen tutkinut. Kuvitellaan tilanne, jossa taho A hallinnoi metsäpalstaportfoliota. A:n tavoitteena on maksimoida portfoliosta saatava arvo. Mallin kannalta ulkoisista syistä johtuen taho A käyttää kriteerinä portfolion myyntiarvon odotettua nykyarvoa. Tarkastellaan A:n toimintaa ajanhetkenä, jolloin portfolio olisi myytävissä. Tällöin A voi joko myydä portfolion tai jättää myynnin tuonnemmaksi. Tehdäkseen päätöksen A vertaa tämän hetkistä myyntiarvoa tulevan myyntiarvon odotettuun nykyarvoon. Tässä tuleva myyntiarvo on stokastisen prosessin toteuma tulevana ajanhetkenä. Eräs näissä yhteyksissä paljon käytetty malli tulevalle myynitarvolle on niin kutsuttu diffusioprosessi, jossa prosessin polun voi ajatella muodostuvan ajautumatermistä, johon lisätään Brownin liikkeen tuottama kohinatermi.  Näin saadaan teorialtaan rikas malliluokka, joka mahdollistaa edellä kuvatun kaltaisten dynaamisten optimointitehtävän ratkaisemisen useissa tapauksissa. Ratkaisu koostuu niin kutsutusta arvofunktiosta sekä optimaalisesta päätäntäsäännöstä. Arvofunktio antaa odotetun nykyarvon mielessä maksimaalisen tulevan myyntiarvon, optimaalinen sääntö on puolestaan päätäntäsääntö, joka tuottaa tämän maksimaalisen arvon.   

Olen puhunut stokastiikasta riskien mallintamisen matematiikkana. Esitin riskille sangen tarkkaan rajatun määritelmän: riski on se osa kvantifioitavasta ennakoimattomuudesta, joka saadaan kuvattua havaintoaineiston jakauman avulla. Miltä riskien mallintamisen tulevaisuus sitten näyttää?  Lienee turvallista väittää, että saatavilla olevien havaintoaineistojen määrä ei ole ainakaan pienenemään päin. Aineistoa kerätäänkin moninaisista lähteistä ihmisyksilölle käsittämättömän suuria määriä. Määrä ei kuitenkaan sellaisenaan paljoa ratkaise, aineisto kun voi olla huonolaatuista ja hajallaan eri tietovarastoissa. Mallien soveltajille onkin usein työläs työvaihe muodostaa käyttökelpoista aineistoa. Tämäkin ala kuitenkin kehittyy ja myös käyttökelpoisen aineiston määrä kasvaa. Toisaalta, mitä moninaisempia ilmiöitä yritetään ymmärtää aineistojen kautta. Tämä tuottaa kysyntää erilaisille malleille ja niihin liittyvälle metodiikalle. Nämä yhdessä, siis aineistot ja mallit, voivat omalta osaltaan auttaa ymmärtämään maailmaa koskettavia tärkeitä kysymyksiä. Nähdäkseni työt eivät siis ole loppumaan päin.