Professoriluento | Kaisa Matomäki

Lähdetään liikkeelle siitä mitä alkuluvut ovat. Alkuluvut ovat ykköstä suurempia kokonaislukuja, jotka ovat jaollisia vain itsellään ja ykkösellä, eli eivät ole minkään epätriviaalin kertolaskun tuloksia. Esimerkiksi 2, 3, 5, 7 ja 11 ovat alkulukuja, sillä vaikkapa 7 on vain 7 × 1, mutta 6 = 2 × 3 ja 15 = 3 × 5 eivät ole alkulukuja.

Alkulukuja on tutkittu jo Antiikin Kreikassa yli 2000 vuotta sitten. Siellä Eukleides osoitti noin 300 eKr. muun muassa, että jokainen kokonaisluku voidaan hajottaa alkulukujen tuloksi. Esimerkiksi 15 = 3 × 5 ja 2023 = 7 × 17 × 17. Tavallaan alkuluvut siis ovat kokonaislukujen rakennuspalikoita.

Käytännössä annetun luvun hajottaminen on jokseenkin haastavaa, esimerkiksi ei ole itsestään selvää että 2023 = 7 × 17 × 17. Itse asiassa todella suuren luvun hajottaminen alkutekijöihin on tietokoneellakin hidasta. Toisaalta lukujen rakentaminen, eli kertominen on paljon helpompaa. Allekkain kertolaskua käyttämällä saa suuretkin luvut kerrottua keskenään melko helposti, ja tietokoneelle kertolasku vasta helppoa onkin.

Tässä kohtaa analogia rakennuspalikoiden kanssa ei toimi --- rakennuspalikoilla nimenomaan rakentaminen vaatii tarkkuutta, keskittymistä ja aikaa, kun taas rakennuspalikoilla tehdyn rakennelman osaa pieni taaperokin kaataa kädenkäänteessä.

Ehkä ensimmäinen luonteva kysymys alkulukuihin liittyen on, että paljonko niitä on. Kokonaislukujahan on äärettömästi, ja intuitiivisesti ajatellen tarvitaan enemmän ja enemmän alkulukuja, jotta saadaan kaikki kokonaisluvut "rakennettua". Samahan pätee myös rakennuspalikkoihin – kun erilaisten rakennusten lukumäärä kasvaa kohti ääretöntä, niin myös palikoiden määrän luulisi kasvavan.

Itse asiassa alkulukujen lukumäärääkin pohdittiin jo antiikin aikaan, ja jo Eukleides osoitti, että alkulukuja on äärettömästi. Todistus on melko lyhyt, ja esittelenkin sen idean tässä.

Todistus perustuu vastaoletuksen tekemiseen: Kuvitellaan esimerkiksi, että vain 2, 3 ja 5 olisivat alkulukuja. Tarkastellaan kaikkien alkulukujen tuloa ja lisätään siihen ykkönen. Saadaan 2 × 3 × 5 + 1 = 31. Nyt jaettaessa luku 31 millä tahansa alkuluvulla 2, 3, tai 5 jakojäännös on yksi (esimerkiksi 31 : 5 = 6 + 1/5 ja 31 : 3 = 10 + 1/5). Siis 31 ei ole jaollinen millään alkuluvulla, mikä on ristiriita sen kanssa, että kaikki luvut ovat hajotettavissa alkulukujen tuloksi. Toisin sanoen joko 31 on itse alkuluku, kuten onkin, tai se on jaollinen jollain uudella alkuluvulla. Täten vastaoletus on väärä ja alkulukuja on oltava lisää. Samanlainen päättely toimii paljon yleisemmin, ja päädytään siihen, että alkukuja on oltava äärettömästi.

Me matemaatikot emme tyydy tietoon, että alkulukuja on äärettömästi, vaan haluamme tietää kuinka äärettömästi niitä on. Äärettömiä kun on erilaisia --- esimerkiksi parillisia kokonaislukuja on äärettömästi, mutta silti kaikkia kokonaislukuja on kaksi kertaa enemmän. Ja desimaalilukuja vasta paljon onkin.

Alkulukujen lukumäärästä on itse asiassa paljon tarkempaakin tietoa. Vuonna 1896 Hadamard ja de la Vallee Poussin todistivat niin kutsutun alkulukulauseen, jonka perusteella tiedetään, että suureen lukuun x mennessä on noin x/ln(x) alkulukua, missä ln(x) on luonnollinen logaritmi. Siis luvun 10ⁿ ympäristössä peräkkäisten alkulukujen keskimääräinen etäisyys on noin ln(10ⁿ) ≈ 2.3 × n, eli esimerkiksi luvun 1 000 000 = 10⁶ ympäristössä alkulukuja on keskimäärin noin joka neljästoista luku, ja mentäessä suurempiin lukuihin alkuluvut harvenevat.

Todettakoon kuitenkin, ettei ole pystytty osoittamaan että peräkkäisten alkulukujen välinen tyypillinen etäisyys olisi tuo noin ln(10ⁿ), se on vain keskimääräinen etäisyys. Tämä epäharmonia vastaa sitä, että vaikka koululaisen todistuksen keskiarvo olisi seiska, niin todistuksessa voi olla puolet kymppejä ja puolet nelosia. Eli alkuluvuillakin voi periaatteessa esiintyä paljon keskimääräistä pidempiä ja lyhyempiä välejä.

Esimerkiksi ei tiedetä voisiko silloin tällöin olla kaksi peräkkäistä neliölukua, joiden välissä ei ole alkulukua, mikä 10ⁿ kohdalla tarkoittaisi noin 10^n/2 mittaista välimatkaa keskimääräisen ≈ 2.3 × n sijaan --- eli esimerkiksi miljoonan kohdalla välimatka olisikin noin tuhat eikä neljätoista. Legendren konjektuuri ennustaa, että kahden neliöluvun välillä on aina alkuluku, mutta aivan tätä ei ole saatu todistettua.

Sovellusten kannalta olisi hyödyllistä pystyä generoimaan suuria alkulukuja. Ei ole kuitenkaan mitään yksinkertaista ja käytännöllistä kaavaa, joka antaisi n:nnen alkuluvun tai ylipäätään antaisi pelkästään eri alkulukuja. Epäkäytännöllisiä kaavoja kyllä on. Käytännössä suuria alkulukuja löydetäänkin listaamalla sopivia kandidaatteja ja tarkistamalla, mitkä näistä ovat alkulukuja.

Seuraavaksi kerron muutamista alkulukuihin liittyvistä otaksumista ja edistysaskeleista.

Kuten edellä jo todettiin, alkuluvut harvenevat mentäessä suurempiin lukuihin. Jos alkuluvut käyttäytyisivät odotusten mukaisesti olisi kuitenkin äärettömästi alkulukupareja, joiden etäisyys toisistaan on kaksi. Tällaisia pareja ovat esimerkiksi 11 ja 13 sekä 29 ja 31.

Kukaan ei ole pystynyt osoittamana, että tällaisia alkulukupareja on äärettömästi. Tätä ratkaisematonta kysymystä kutsutaan alkulukukaksoskonjektuuriksi. Kaikki laskelmat ja todennäköisyysmallit tukevat konjektuuria, mutta sen todistus kuitenkin uupuu.

Vuoteen 2010 asti ei oltu pystytty todistamaan, että kahden peräkkäisen alkuluvun välinen etäisyys olisi äärettömän usein edes äärellinen. Nykyään tiedetään erityisesti Zhangin ja Maynardin läpimurtojen perusteella, että kahden peräkkäisen alkuluvun välinen etäisyys on äärettömän usein korkeintaan 246.

Van der Corput todisti vuonna 1939, että on olemassa äärettömästi tasavälein esiintyviä alkulukukolmikoita. Tällaisia ovat esimerkiksi 11, 17 ja 23 (tasaväli 6) sekä 29, 41 ja 53 (tasaväli 12). Pitkään ei osattu todistaa, että tällaisia nelikoita, kuten 11, 17, 23, 29, olisi äärettömästi.

Vuonna 2004 Green ja Tao tekivät läpimurron – he osoittivat, että millä tahansa k on olemassa ``kookikoita'' tasavälisiä alkulukuja. Eli esimerkiksi on olemassa miljoona alkulukua tasavälein. Tämä on tietysti valtava harppaus verrattuna aiemmin tunnettuun kolmen tasavälisen alkuluvun tapaukseen. Greenin ja Taon todistus on lähes 70 sivua pitkä ja hyvin syvällinen perustuen moniin muihin artikkeleihin. Tämäkin läpimurto on johtanut moniin muihin uusiin tuloksiin, joita ovat todistaneet sekä Green ja Tao että lukuisat muut matemaatikot.

Luonnollisesti on paljon muitakin avoimia kysymyksiä ja toisaalta meidän tietämyksemme alkuluvuista on muiltakin osin merkittävästi lisääntynyt vuosien saatossa.

Tällaisen teoreettisen pohdinnan jälkeen on ehkä paikallaan kertoa, että mihin lukuteoriaa oikeastaan tarvitaan, tai missä sitä esiintyy.

Monet kryptografiset eli salausalgoritmit hyödyntävät alkulukuja, erityisesti tekijöihinjaon vaikeutta, eli aiemmin mainitsemaani seikkaa, että jopa tietokoneen on vaikea hajottaa isoja kokonaislukuja alkulukujen tuloiksi.

Nykypäivänä tiedonsalausta tarvitaan jatkuvasti muun muassa verkossa välitettävän tiedon, kuten luottokorttitietojen ja salasanojen, salaamiseen. Kryptografia onkin äärimmäisen tärkeä lukuteorian sovellus.

Myös niin kutsuttu koodausteoria, jota käytetään esimerkiksi korjaamaan kännykkäverkon häiriöiden aiheuttamat virheet, hyödyntää edistynyttä algebrallista lukuteoriaa.

Luonnostakin löytyy mielenkiintoisia esimerkkejä alkulukujen hyödyntämisestä: Esimerkiksi eräs kaskas-lajike (magicicada) ilmaantuu alueesta riippuen 13 tai 17 vuoden sykleissä. Aikuiset kaskaat elävät keväisin neljästä kuuteen viikkoa, jona aikana naaraat munivat. Poikaset kaivautuvat maahan ja heräävät yhtäaikaisesti suurina laumoina 13 tai 17 vuoden kuluttua. Ei voi kuin ihmetellä näiden hyönteisten sisäisen kellon tarkkuutta.

Luonnollisesti biologit ovat arvailleet syitä kaskasten pitkälle alkulukusyklille. Ainakin syklin mittava pituus varmistaa, ettei mikään eliö voi turvautua näihin kaskaisiin pääasiallisena ravintonaan. Toisaalta alkulukusyklin ansiosta kaskas välttää useammin säännöllisin väliajoin saapuvat saalistajat --- jos kaskas heräisi esimerkiksi 12 vuoden välein, se voisi tavata joka toinen ja joka kolmas vuosi ilmaantuvat saalistajat joka kerta.

Lopuksi voisin vielä palata kertaamaan muutamia olennaisimpia asioita alkulukuihin liittyen. Alkulukuja on siis tutkittu jo yli kaksituhatta vuotta, mutta niiden jakautumiseen liittyy edelleen monia avoimia kysymyksiä. Pitkästä historiasta huolimatta alkulukujen tutkimus etenee aivan jatkuvasti ja 2000-luvulla on jo tapahtunut merkittäviä ja yllättäviä läpimurtoja. Toisaalta teknologian kehityksen ansiosta lukuteorian merkitys ihmisten jokapäiväisessä elämässä on merkittävästi kasvanut, vaikkei tätä teknologiaa käyttäessä havaitse.

Itse odotan mielenkiinnolla mitä alkuluvuista saadaan tulevaisuudessa todistettua ja toivon osaltani olevan mukana edistämässä tietämystämme.