Tieteellinen oppikirja esittelee uudenlaisen geometrian

Tavallinen tasogeometria, jonka opimme koulussa, on keksitty yli 2000 vuotta sitten. Noin kaksisataa vuotta sitten venäläinen matemaatikko Lobachevsky kehitti uudenlaisen tasogeometrian, joka on määritelty ympyrän sisällä. Geometriaa kutsutaan epäeuklidiseksi geometriaksi, koska se poikkeaa oleellisesti euklidisesta geometriasta.

Useille euklidisen geometrian tuloksille, kuten Pythagoraan lauseelle, on kuitenkin olemassa vastineet epäeuklidisessa geometriassa. Epäeuklidisessa geometriassa ympyrän kehällä olevat pisteet vastaavat euklidisessa geometriassa horisonttia.

Nyt Turun yliopiston tutkijat Parisa Hariri, Riku Klén ja Matti Vuorinen ovat julkaisseet epäeuklidisista geometrioista tieteellisen oppikirjan Conformally Invariant Metrics and Quasiconformal Mappings. Oppikirja käsittelee niin kutsuttua geometrista funktioteoriaa. Siinä tutkitaan matemaattisen analyysin avulla funktioita, jotka on määritelty avaruuden osajoukossa.

Vaikka euklidinen geometria sekä tasossa että avaruudessa on helppo ymmärtää, on osoittautunut, että epäeuklidiset geometriat kuvastavat paremmin funktioteorian tutkimuskohteiden luonnetta.

– Esimerkiksi lentokoneen siiven aiheuttaman ilmavirtauksen tai suhteellisuusteorian mallintaminen onnistuu paremmin epäeuklidisen geometrian avulla, toteaa apulaisprofessori Riku Klén.

Yleisesti avaruuden osajoukolle G ei voida kehittää yhtä hyvää geometriaa kuin tasossa. Sen sijaan keskitytään epäeuklidisiin geometrioihin, joilla on samoja ominaisuuksia. Näiden niin sanottujen luontaisten geometrioiden tutkimuksessa perehdytään etäisyyksiin, jotka kahden pisteen välisen etäisyyden lisäksi huomioivat pisteiden etäisyyden alueen G reunasta. Alueen reuna on horisontti, joka on ”äärettömän kaukana”. Tutkijoiden mukaan luonnollisten geometrioiden tutkimus on levinnyt hyvin laajalle ja niitä tutkitaan useissa eri maissa.

Oppikirja on synteesi tekijöiden ja heidän yhteistyökumppaniensa tutkimuksesta kuluneen 30 vuoden aikana. Aikaisemmin hajallaan olleet tulokset on koottu yhteen ja esitetty systemaattisesti.

Oppikirjassa teoria esitetään analyysin ja geometrian peruskäsitteistä lähtien, ja se on suunnattu kaikille opiskelijoista matematiikan ammattilaisiin.

– Kirja sisältää arvokasta tietoa tutkijoille, sillä teorian lisäksi siihen on listattu useita avoimia ongelmia, ja mukana on laaja luettelo alan uusimmasta tutkimuksesta. Toisaalta kirja soveltuu myös opiskelijoille, koska se muun muassa sisältää kattavan kokoelman harjoitustehtäviä ratkaisuineen, kertoo Klén.

Lisätiedot:

apulaisprofessori Riku Klén, riku.klen@utu.fi

> Kirja verkkokaupassa